杠杆与复利增长的数学

杠杆是交易里被误解最多的工具。用得小心，它把真实优势放大成有意义的回报。用得大意，它把盈利策略变成必然破产。原因是数学的：复利增长是几何的，杠杆跟方差的交互会惩罚滥用。

算术回报 vs 几何回报

如果一个策略先 $+50%$ 再 $-50%$，算术平均是 $0%$，但几何结果是：

$$(1 + 0.5)(1 - 0.5) = 0.75$$

25% 的本金亏损。方差拖累是对称的。几何增长永远小于算术均值，大约差：

$$g \approx \mu - \frac{\sigma^2}{2}$$

方差越大，回报路径毁掉的财富越多。

杠杆怎么跟拖累交互

杠杆 $L$ 同时乘均值和方差。杠杆后的几何增长变成：

$$g_L \approx L\mu - \frac{L^2 \sigma^2}{2}$$

方差惩罚按 $L^2$ 缩放，回报按 $L$ 缩放。存在一个最大化几何增长的杠杆水平——超过它，即便底层优势是正的，增长也变负。最优杠杆是：

$$L^* = \frac{\mu}{\sigma^2}$$

这是高斯收益过程下的连续时间 Kelly 分数。在 $L^*$ 之上交易，长期几何增长保证为负，哪怕你有真优势。

一个具体例子

假设一个策略年化均值 $\mu = 15%$、波动率 $\sigma = 20%$。无杠杆几何增长：

$$g \approx 0.15 - \frac{0.04}{2} = 0.13$$

最优杠杆 $L^* = 0.15 / 0.04 = 3.75$。在 8 倍杠杆下：

$$g_{8x} \approx 1.20 - \frac{64 \cdot 0.04}{2} = -0.08$$

增长变负，尽管底层策略是赚钱的。过度杠杆把优势变成破产。

实操含义

• 保守估计 $\mu$ 和 $\sigma$。乐观的 $\mu$ 导致过度杠杆
• 远在 $L^*$ 之下交易，因为参数估计带误差、市场非平稳
• 把杠杆当风险乘数，不是回报乘数。它放大回撤跟放大收益一样快
• 算上融资成本。以利率 $r$ 借钱把增长往下压：$g_L \approx L(\mu - r) - L^2\sigma^2/2$
• 设绝对杠杆上限，不管数学怎么说。存活比理论最优更要紧

耐久的教训：杠杆有一个数学天花板，市场在你越过它时不警告你。 保守杠杆配真实优势，长期胜过激进杠杆配同一个优势——只要时间够长，让数学表达出来。