Kelly Criterion：进阶与现实局限

Kelly criterion（凯利公式）由 John Kelly 在 1956 年推导，给出最大化资本长期几何增长率的下注比例。数学上优雅，实战上危险——这就是为什么几乎没人在满 Kelly 下交易。

基本公式

对一个胜率 $p$、败率 $q = 1-p$、净赔率 $b$（每冒一单位风险在盈利时的利润）的下注，最优比例是：

$$f^* = \frac{bp - q}{b} = \frac{p(b+1) - 1}{b}$$

在 $f^*$ 下，财富对数的期望最大化，资本以可能的最高长期增长率增长。

多资产 Kelly 与增长率

对多个同时机会，Kelly 变成一个组合优化问题，最大化：

$$g = \sum_i p_i \ln(1 + \sum_j f_j b_{ij})$$

约束 $\sum f_j \leq 1$。求解要数值方法和结果的协方差结构。跟 Markowitz 的联系很深：对数最优组合在对数收益空间里落在有效前沿上。

满 Kelly 为什么危险

参数不确定：$f^*$ 依赖 $p$ 和 $b$，它们带估计误差。高估优势导致过度下注，在几何增长下保证破产。不对称很残酷——下两倍 Kelly 产生零增长率和大回撤。

回撤深度：满 Kelly 下，回撤到峰值权益比例 $x$ 的概率大约就是 $x$。50% 回撤在长期里大约有 50% 概率。大部分交易员扛不住。

方差拖累：几何增长永远小于算术均值回报，大约差半个方差：

$$g \approx \mu - \frac{\sigma^2}{2}$$

满 Kelly 通过接受高波动换取边际增长收益，最大化了方差惩罚。

非平稳性：真实优势不平稳。回测的 $p$ 会衰减，环境会切换，昨天支撑 Kelly 的优势今天可能已经没了。

分数 Kelly

标准的实战应对是下 $c \cdot f^*$ 比例，$c \in [0.25, 0.5]$。这放弃一点期望增长，换取方差和回撤深度的大幅降低。半 Kelly 保留约 75% 的增长率，方差只有一半。

实操局限和改进

• 设单仓上限，不管 Kelly 输出多少，避免集中
• 对优势估计用贝叶斯收缩，往保守值拉
• 持续重估优势，近期已实现优势低于估计时降仓
• 把 Kelly 当天花板，不是目标。它告诉你什么时候肯定下太多，不告诉你该下多少

Kelly criterion 的真正价值是概念上的：增长是几何的，优势和风险是乘法交互的，过度下注是灾难性的而下少了只是次优。 保守应用一个诚实优势，胜过激进应用一个一厢情愿的优势。