用 scipy 计算有效前沿与最优权重

有效前沿是在每个风险水平下最大化预期收益的组合集合。算它是个约束优化问题——约束比目标更重要。

准备输入

需要三个数组：预期收益（历史均值或前瞻估计）、协方差矩阵、无风险利率。用 3–5 年月度收益；日收益让相关性过稳，周度是合理折中。

最小方差组合

最简单的最优组合是在权重和为 1 的约束下最小化方差：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def portfolio_var(w, cov):
    return w @ cov @ w

n = len(mu)
cons = [{"type": "eq", "fun": lambda w: np.sum(w) - 1}]
bounds = [(0, 1)] * n
w0 = np.ones(n) / n
res = minimize(portfolio_var, w0, args=(cov,), method="SLSQP",
               bounds=bounds, constraints=cons)
w_minvar = res.x

切线（最大 Sharpe）组合

切线组合最大化 Sharpe 比率——从无风险利率出发的直线与前沿相切的点：

def neg_sharpe(w, mu, cov, rf):
    return -(w @ mu - rf) / np.sqrt(w @ cov @ w)

res = minimize(neg_sharpe, w0, args=(mu, cov, rf), method="SLSQP",
               bounds=bounds, constraints=cons)
w_tan = res.x

描出前沿

对每个目标收益水平，最小化方差：

def min_var_for_target(target, mu, cov):
    cons = [{"type": "eq", "fun": lambda w: np.sum(w) - 1},
            {"type": "eq", "fun": lambda w: w @ mu - target}]
    res = minimize(portfolio_var, w0, args=(cov,), method="SLSQP",
                   bounds=bounds, constraints=cons)
    return res

目标从最小方差收益循环到单资产最大收益，画出曲线。

为什么朴素优化会失败

马科维茨优化不稳定：输入小变动产生权重剧烈摆动。两个防御：

1. 约束权重。 单一权重封顶 30%–40%，即使优化器想要 70%。只做多加上限的权重远比无约束稳定。
2. 收缩协方差。 用收缩估计量（Ledoit-Wolf）替换样本协方差，向对角矩阵混合。这大幅削减估计误差。

实操陷阱

• 垃圾收益进、垃圾权重出。 均值收益估计误差巨大；协方差估计更可靠。先优化风险，再优化收益。
• 没交易成本。 真实再平衡每轮 10–30 bp 成本；忽略这点的优化器会折腾组合。
• 点估计。 前沿是云不是线。用重采样输入重跑，每次得到不同曲线。

诚实的用法

用优化器找合理权重的邻域，再施加判断。原始历史数据的切线组合很少是你该持有的；稳健、约束、收缩平滑后的版本更接近。