标准差、波动率和 Beta 的计算

标准差、波动率、Beta 是风险计量的基石。每个都好算也好用错。错误来自窗口选择、年化和参考指数选择。

收益率标准差

对 n 个周期上的收益序列 r：

σ = sqrt( Σ(r_i − r̄)² / (n − 1) )

用样本标准差（n-1），不是总体（n），用于有限样本。在收益上算，不是价格上；价格标准差没意义，因为它随价格水平缩放。

窗口：20 天短期，50-60 中期，250 一整年。短窗口反应快但噪；长窗口稳但滞后。很多交易员用指数加权版（EWMA），近期收益权重更高，日数据衰减因子约 0.94。

年化波动率

日标准差在不同周期不可比。年化它：

年化波动率 = 日 σ × sqrt(252)

股票用 252（交易日），外汇用 260（每周 5.5 天），加密货币调整到 365。时间平方根缩放假设收益独立同分布，这个假设在肥尾、波动率聚集的市场里失效。把年化数字当粗略对比，不是预测。

常见错误：用错乘数年化日内波动率。美股小时收益用 sqrt(6.5×252)，不是 sqrt(24×252)。

历史 vs 隐含波动率

• 历史（已实现）波动率：从过去收益算。向后看。
• 隐含波动率：从期权价格推。向前看。

两者之差，波动率风险溢价，本身可交易。隐含超已实现 3-5 个波动率点时，做空波动率策略有 edge；倒挂时，做多波动率对冲便宜。

Beta

Beta 衡量股票对市场指数的敏感度：

β = Cov(r_stock, r_market) / Var(r_market)

参考指数很关键：美股大盘用标普 500，小盘用罗素 2000，板块股用板块 ETF。用错指数算出的 Beta 没意义。

窗口：1-3 年周或月收益是标准。短窗口（60 天）抓近期 regime；长窗口（5 年）抓结构性 Beta。两个都报；短长 Beta 背离信号股票行为的 regime 切换。

常见计算错误

• 这些指标任何一个用价格而不是收益算。
• 用错时间乘数年化。
• 用不匹配股票实际驱动因子的指数算 Beta。
• 该用 EWMA 反映波动率聚集时用等权。
• 收益序列里忽略分红和拆股调整，污染波动率和 Beta。

实操用法

• 波动率：仓位定仓。每笔风险金额除以年化波动率给出波动率缩放仓位。
• Beta：组合敞口。平均 Beta 1.3 的股票组合比市场多动 30%；相应定对冲仓。
• 标准差：止损放置和任何基于 sigma 的通道宽度。

算对了，风险数字反映现实；用默认设置算，你继承了别人的假设。